FÍSICA QUÂNTICA GENERALIZADA VIBRACIONAL DE ANCELMO L. GRACELI.

MECÂNICA ESTATÍSTICA QUÂNTICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

O ELETROMAGNETISMO QUÂNTICO TENSORIAL DE ANCELMO L. GRACELI

MECÂNICA QUÂNTICA ENTRÓPICA GENERALIZADA OSCILATÓRIA INDETERMINISTA DE ANCELMO L. GRACELI.

COM TENSOR ENTRÓPICO DE GRACELI, E OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

[

G

G_{\mu \nu }\

[ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ ].

$G$ * = operador de energias, dimensões de GRACELI e estados de A. L. GRACELI.,

OBSERVAÇÃO . DIMENSÕES DE ANCELMO GRACELI NÃO ESTÁ RELACIONADO COM ESPAÇO E TEMPO.

$G_{\mu \nu }\$ = TENSOR DE ANCELMO L. GRACELI.

E = ENERGIA

lEGG] = ELETROMAGNETISMO GERAL DE ANCELMO L. GRACELI] QUÂNTICO TENSORIAL DIMENSIONAL ENTRÓPICO GENERALIZADO.

COM TENSOR E OPERADOR DE ANCELMO L. GRACELI

[ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ ].

ANCELMO GRACELI - OBRA [5]

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] = tensor eletromagnético.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $M=\epsilon \,\sigma \,T^{4}$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Emissão

A radiação térmica é emitida por quase toda a matéria, em proporção à quarta potência de sua temperatura absoluta.

Em particular, o fluxo de energia emitido, $M$ (medido em W/m2) é dado pela lei de Stefan-Boltzmann para matéria sem corpo negro:[12]

$M=\epsilon \,\sigma \,T^{4}$

Onde $T$ é a temperatura absoluta, $\sigma$ é a constante de Stefan-Boltzmann, e $\epsilon$ é a emissividade. A emissividade é um valor entre zero e um que indica o quanto menos radiação é emitida em comparação com o que um corpo negro perfeito emitiria.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)=H\psi (t)\,.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $[{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar \,.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.$ ][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ ][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}},.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right),.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

A mecânica quântica (também conhecida como física quântica e teoria quântica) é a teoria física que obtém sucesso no estudo dos sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica, tais como moléculas, átomos, elétrons, prótons e outras partículas subatômicas, muito embora também possa descrever fenômenos macroscópicos em diversos casos.[2]

A mecânica quântica é um ramo fundamental da física com vasta aplicação. A teoria quântica fornece descrições precisas para muitos fenômenos previamente inexplicados tais como a radiação de corpo negro e a estabilidade dos átomos. Apesar de, na maioria dos casos, a mecânica quântica ser relevante para descrever sistemas microscópicos, os seus efeitos específicos não são somente perceptíveis em tal escala.

Por exemplo, a explicação de fenômenos macroscópicos como a super fluidez e a supercondutividade só é possível se considerarmos que o comportamento microscópico da matéria é quântico. A quantidade característica da teoria, que determina quando ela é necessária para a descrição de um fenômeno, é a chamada constante de Planck, que tem dimensão de momento angular ou, equivalentemente, de ação.

A mecânica quântica recebe esse nome por prever um fenômeno bastante conhecido dos físicos: a quantização. No caso dos estados ligados (por exemplo, um elétron orbitando em torno de um núcleo positivo) a Mecânica Quântica prevê que a energia (do elétron) deve ser quantizada. Este fenômeno é completamente alheio ao que prevê a teoria clássica.

Um panorama

O desenvolvimento da mecânica quântica foi uma necessidade gerada pelo acúmulo de resultados experimentais ao longo da virada dos séculos XIX e XX, os quais não conseguiam ser entendidos ou explicados à luz das teorias físicas existentes naquele período. As tentativas de contornar as dificuldades através da adaptação dos formalismos e ferramentas então disponíveis foram paulatinamente abandonadas, pois logo ficou claro que novas frentes conceituais e técnicas teriam que ser abertas. As propostas de uma equação de onda, que generalizava ideias acerca do caráter ondulatório das partículas, bem como de uma formulação matricial, baseada na utilização de observáveis experimentais na descrição dos sistemas atômicos, logo foram seguidas por trabalhos mais marcadamente matemáticos, que tinham por principal objetivo aparar possíveis arestas formais surgidas ao longo desse avanço conceitual.[3]

A palavra “quântica” (do Latim quantum) quer dizer quantidade. Na mecânica quântica, esta palavra refere-se a uma unidade discreta que a teoria quântica atribui a certas quantidades físicas, como a energia de um elétron contido num átomo em repouso. A descoberta de que as ondas eletromagnéticas podem ser explicadas como uma emissão de pacotes de energia (chamados quanta) conduziu ao ramo da ciência que lida com sistemas moleculares, atômicos e subatômicos. Este ramo da ciência é atualmente conhecido como mecânica quântica.

A mecânica quântica é a base teórica e experimental de vários campos da Física e da Química, incluindo a física da matéria condensada, física do estado sólido, física atômica, física molecular, química computacional, química quântica, física de partículas e física nuclear. Os alicerces da mecânica quântica foram estabelecidos durante a primeira metade do século XX por Albert Einstein, Werner Heisenberg, Max Planck, Louis de Broglie, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Richard Feynman e outros. Alguns aspectos fundamentais da contribuição desses autores ainda são alvo de investigação.

Normalmente é necessário utilizar a mecânica quântica para compreender o comportamento de sistemas em escala atômica ou molecular. Por exemplo, se a mecânica clássica governasse o funcionamento de um átomo, o modelo planetário do átomo — proposto pela primeira vez por Rutherford — seria um modelo completamente instável. Segundo a teoria eletromagnética clássica, toda carga elétrica acelerada emite radiação. Por outro lado, o processo de emissão de radiação consome a energia da partícula. Dessa forma, o elétron, enquanto caminha na sua órbita, perderia energia continuamente até colapsar contra o núcleo positivo.

O conceito de estado na mecânica quântica

Em física, chama-se "sistema" um fragmento concreto da realidade que foi separado para estudo. Dependendo do caso, a palavra sistema refere-se a um elétron ou um próton, um pequeno átomo de hidrogênio ou um grande átomo de urânio, uma molécula isolada ou um conjunto de moléculas interagentes formando um sólido ou um vapor. Em todos os casos, sistema é um fragmento da realidade concreta para o qual deseja-se chamar atenção.

Dependendo da partícula pode-se inverter polarizações subsequentes de aspecto neutro.

A especificação de um sistema físico não determina unicamente os valores que experimentos fornecem para as suas propriedades (ou as probabilidades de se medirem tais valores, em se tratando de teorias probabilísticas). Além disso, os sistemas físicos não são estáticos, eles evoluem com o tempo, de modo que o mesmo sistema, preparado da mesma forma, pode dar origem a resultados experimentais diferentes dependendo do tempo em que se realiza a medida (ou a histogramas diferentes, no caso de teorias probabilísticas). Essa ideia conduz a outro conceito-chave: o conceito de "estado". Um estado é uma quantidade matemática (que varia de acordo com a teoria) que determina completamente os valores das propriedades físicas do sistema associadas a ele num dado instante de tempo (ou as probabilidades de cada um de seus valores possíveis serem medidos, quando se trata de uma teoria probabilística). Em outras palavras, todas as informações possíveis de se conhecer em um dado sistema constituem seu estado.

Cada sistema ocupa um estado num instante no tempo e as leis da física devem ser capazes de descrever como um dado sistema parte de um estado e chega a outro. Em outras palavras, as leis da física devem dizer como o sistema evolui (de estado em estado).

Muitas variáveis que ficam bem determinadas na mecânica clássica são substituídas por distribuições de probabilidades na mecânica quântica, que é uma teoria intrinsecamente probabilística (isto é, dispõe-se apenas de probabilidades não por uma simplificação ou ignorância, mas porque isso é tudo que a teoria é capaz de fornecer).

A representação do estado

No formalismo da mecânica quântica, o estado de um sistema num dado instante de tempo pode ser representado de duas formas principais:

O estado é representado por uma função complexa da posição ou do momento linear de cada partícula que compõe o sistema. Essa representação é chamada função de onda.
Também é possível representar o estado por um vetor num espaço vetorial complexo.[4] Esta representação do estado quântico é chamada vetor de estado. Devido à notação introduzida por Paul Dirac, tais vetores são usualmente chamados kets (sing.: ket).

Em suma, tanto as "funções de onda" quanto os "vetores de estado" (ou kets) representam os estados de um dado sistema físico de forma completa e equivalente e as leis da mecânica quântica descrevem como vetores de estado e funções de onda evoluem no tempo.

Estes objetos matemáticos abstratos (kets e funções de onda) permitem o cálculo da probabilidade de se obter resultados específicos em um experimento concreto. Por exemplo, o formalismo da mecânica quântica permite que se calcule a probabilidade de encontrar um elétron em uma região particular em torno do núcleo.

Quando uma função é exclusiva das coordenadas espaciais, ela é dita estacionária, ou seja, seu potencial não depende do tempo. Esta condição permite separar a função de onda em dois movimentos interdependentes. Um deles está ligado a coordenadas espaciais e o outro à coordenada temporal. Esta separação transforma a equação de Schrödinger, uma equação diferencial parcial muito usada na mecânica quântica, em duas equações diferenciais ordinárias, cada qual dependendo de apenas uma variável. O primeiro postulado da mecânica quântica refere-se, justamente, à função de onda. Esta é uma entidade complexa à qual não se atribui qualquer sentido físico especial, e o que a torna fisicamente relevante é o seu módulo quadrado (ou o produto da função de onda por seu complexo conjugado), pois este módulo quadrado representa uma probabilidade. O requisito para a aceitabilidade da função de onda é o fato de ela ser contínua, finita e apresentar um único valor para cada entidade.[5]

Para compreender seriamente o cálculo das probabilidades a partir da informação representada nos vetores de estado e funções de onda é preciso dominar alguns fundamentos de álgebra linear.

Formulação matemática

Muitos fenômenos quânticos difíceis de se imaginar concretamente podem ser compreendidos com um pouco de abstração matemática. Há três conceitos fundamentais da matemática - mais especificamente da álgebra linear - que são empregados constantemente pela mecânica quântica. São estes: (1) o conceito de operador; (2) de autovetor; e (3) de autovalor. Na formulação matematicamente rigorosa da mecânica quântica, o estado de um sistema mecânico-quântico representa um vetor $\psi$ , definido num espaço de Hilbert complexo (separável) ${\mathcal {H}}$ . Postula-se que este vetor é normalizado em relação ao produto escalar do espaço de Hilbert, ou seja, obedece à condição $\langle \psi ,\psi \rangle =1,$ e ele está corretamente definido com precisão até um número complexo de módulo 1 (fase global), ou, por outras palavras, os estados $\psi$ e $e^{i\alpha }\psi$ representam o mesmo sistema físico[6][7]. Os estados possíveis são pontos do espaço projetivo de Hilbert, habitualmente chamado Espaço projetivo complexo.

A natureza exata deste espaço de Hilbert depende do sistema em análise — por exemplo, para a descrição da coordenada e do momento de uma partícula, o espaço de Hilbert é o espaço das funções complexas de quadrado integrável $L^{2}(\mathbb {C} )$ [К 1], enquanto o espaço de Hilbert para o spin de uma única partícula é simplesmente o espaço de vetores complexos bidimensionais $\mathbb {C} ^{2}$ com o produto escalar usual[8].

As grandezas físicas de interesse — coordenada, momento, energia, spin — são representadas por observáveis, aos quais correspondem operadores hermíticos (mais precisamente, autoadjuntos) lineares que atuam no espaço de Hilbert. Um estado quântico pode ser um vetor próprio do operador de um observável, ou um estado próprio, e o valor próprio associado corresponde ao valor do observável nesse estado próprio[7]. Num sentido mais geral, um estado quântico é definido por uma combinação linear de estados próprios, conhecida como sobreposição quântica[9]. Ao medir um observável, o resultado será um dos seus valores próprios discretos com uma probabilidade dada pela Regra de Born: no caso mais simples, o valor próprio $\lambda$ é não degenerado e a probabilidade é determinada pela expressão $|\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}$ , onde ${\vec {\lambda }}$ é o seu vetor próprio[10]. Num caso mais geral, o valor próprio é degenerado e a probabilidade é determinada pela expressão $\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle ,$ onde $P_{\lambda }$ é o projetor no espaço próprio associado[7]. Quando se considera um espetro contínuo de valores próprios, estas fórmulas utilizam o conceito de Densidade de probabilidade[7].

Após a medição, se for obtido o resultado $\lambda$ , postula-se que o estado quântico sofre um colapso para ${\vec {\lambda }}$ , no caso não degenerado, ou $P_{\lambda }\psi /{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}$ , no caso geral[7]. Assim, a natureza probabilística da mecânica quântica provém do processo de medição. Este é um dos aspetos físicos mais complexos de compreender nos sistemas quânticos. O tema foi a questão central dos famosos Debates Bohr-Einstein, nos quais os dois cientistas tentaram esclarecer estes princípios fundamentais através de experiências mentais. Foram formuladas interpretações mais modernas que eliminam o conceito de "colapso da função de onda" (ver, por exemplo, a Interpretação de muitos mundos). A ideia fundamental é que, quando um sistema quântico interage com um aparelho de medição, as suas respetivas funções de onda tornam-se emaranhadas, de modo que o sistema quântico original deixa de existir como uma entidade independente[11].

A evolução do estado quântico no tempo é descrita pela Equação de Schrödinger[12]:

i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)=H\psi (t)\,.

Aqui, $H$ é o hamiltoniano do sistema, ou o operador do observável correspondente à energia total do sistema, e $\hbar$ é a Constante de Planck reduzida. A constante $i\hbar$ é introduzida de forma a que o hamiltoniano se reduza ao hamiltoniano clássico em casos onde o sistema quântico se aproxima das propriedades de um modelo clássico; a possibilidade de fazer tal aproximação num determinado limite é chamada Princípio da correspondência[7].

A solução formal desta equação diferencial é dada pela seguinte expressão[13]:

\psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0)\,.

O operador $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ é conhecido como Operador de evolução temporal e possui a propriedade crucial da unitariedade. Neste caso, a evolução do sistema é determinista no sentido em que, dado um estado quântico inicial $\psi (0),$ este operador fornece uma previsão exata de qual será o estado quântico $\psi (t)$ em qualquer momento posterior $t$ [14].

Algumas funções de onda descrevem distribuições de probabilidade que não dependem do tempo, como os estados próprios do hamiltoniano. Muitos sistemas dinâmicos considerados na mecânica clássica são descritos por tais funções de onda "estacionárias". Por exemplo, um eletrão num átomo não excitado é classicamente representado como uma partícula que se move numa trajetória circular em torno do núcleo, enquanto na mecânica quântica é descrito por uma função de onda estacionária que rodeia o núcleo[15]. Por exemplo, a função de onda do eletrão para o átomo de hidrogénio no estado fundamental é uma função esfericamente simétrica conhecida como orbital $s$ [16].

As soluções analíticas da equação de Schrödinger são conhecidas para poucos modelos hamiltonianos simples, incluindo o Oscilador harmónico quântico[17], a Partícula numa caixa[17], o Ião molecular de hidrogénio[18], o Átomo de hidrogénio[17][19] e outros. Mesmo o átomo de hélio, que contém apenas dois eletrões, desafiou todas as tentativas de construir uma solução totalmente analítica[20].

Existem métodos para encontrar soluções aproximadas. Um método, chamado teoria das perturbações, utiliza o resultado analítico de um modelo simples para construir a solução de um modelo relacionado mais complexo, por exemplo, adicionando uma pequena Energia potencial[21]. Outro método é a "aproximação semiclássica" e aplica-se a sistemas onde a mecânica quântica apresenta apenas pequenos desvios do comportamento clássico. Estes desvios podem ser calculados com base no movimento clássico. Esta abordagem é particularmente importante na área do Caos quântico[22].

Princípio da incerteza

Um dos desfechos do formalismo da mecânica quântica é o Princípio da incerteza. Na sua forma mais conhecida, afirma que para uma partícula quântica não se pode prever simultaneamente e com precisão a sua coordenada e o seu momento[7][23]. O operador de coordenada ${\hat {X}}$ e o operador de momento ${\hat {P}}$ não comutam entre si, mas satisfazem a relação de comutação canónica[7]:

[{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar \,.

Dado um estado quântico, a regra de Born permite calcular os valores esperados para $X,$ $P$ e as suas potências. Definindo a incerteza de um observável pela fórmula do Desvio padrão, temos para a coordenada:

\sigma _{X}={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle -\langle {X}\rangle ^{2}}}\,

e analogamente para o momento:

\sigma _{P}={\sqrt {\langle {P}^{2}\rangle -\langle {P}\rangle ^{2}}}\,.

O princípio da incerteza estabelece que[7]

\sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.

Qualquer desvio padrão pode, em princípio, tornar-se tão pequeno quanto se queira, mas não ambas as grandezas simultaneamente[24]. Esta desigualdade generaliza-se para pares arbitrários de operadores autoadjuntos $A$ e $B$ . O comutador destes dois operadores é definido como:

[A,B]=AB-BA,

o que define o limite inferior do produto dos desvios padrão:

\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.

A partir da relação de comutação canónica, segue-se que os operadores de posição e de momento são transformadas de Fourier um do outro. O facto de a dependência do momento ser a transformada de Fourier da dependência da coordenada significa que o operador de momento é equivalente (com precisão de um fator $i/\hbar$ ) à derivada em relação à coordenada. Por isso, nas equações quânticas na representação de coordenadas, o momento $p_{i}$ é substituído pela expressão $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$ , e, em particular, na equação de Schrödinger não-relativista o quadrado do momento é substituído pelo Laplaciano multiplicado por $-\hbar ^{2}$ [7].

Sistemas compostos e emaranhamento

Quando dois sistemas quânticos diferentes são considerados em conjunto, o espaço de Hilbert do sistema combinado representa o Produto tensorial dos espaços de Hilbert das duas componentes. Por exemplo, sejam $A$ e $B$ dois sistemas quânticos com espaços de Hilbert ${\mathcal {H}}_{A}$ e ${\mathcal {H}}_{B}$ respetivamente. Então o espaço de Hilbert do sistema composto é:

{\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.

Se o estado do primeiro sistema for o vetor $\psi _{A}$ e o do segundo for $\psi _{B}$ , o estado do sistema composto é:

\psi _{A}\otimes \psi _{B}.

Nem todos os estados no espaço conjunto ${\mathcal {H}}_{AB}$ podem ser escritos nesta forma, pois o princípio da sobreposição implica que combinações lineares destes estados "separáveis" também são possíveis. Por exemplo, se $\psi _{A}$ e $\phi _{A}$ são estados de $A$ , e $\psi _{B}$ e $\phi _{B}$ são estados de $B$ , então o novo estado:

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)

descreve um estado conjunto válido que não é separável. Os estados que não são separáveis são chamados de emaranhados ou entrelaçados[25].

Se o estado de um sistema composto estiver emaranhado, nem o componente $A$ nem o $B$ podem ser descritos isoladamente por um vetor de estado. Em vez disso, definem-se matrizes densidade de subsistema, o que inevitavelmente leva à perda de informação: o conhecimento das matrizes densidade individuais não é suficiente para reconstruir o estado do sistema composto.

O emaranhamento é uma característica chave dos modelos de medição, onde o detetor se emaranha com o sistema medido. Sistemas que interagem com o ambiente geralmente sofrem decoerência, o que explica por que os efeitos quânticos são difíceis de observar em escalas macroscópicas[26].

Equivalência de formulações

Existem múltiplas formulações matematicamente equivalentes da mecânica quântica. Uma das mais antigas é a "teoria das transformações" proposta por Paul Dirac, que une e generaliza a Mecânica matricial (Werner Heisenberg) e a Mecânica ondulatória (Erwin Schrödinger)[27]. Alternativamente, a mecânica quântica pode ser formulada através do integral de trajetória de Feynman, onde a amplitude quântica é a soma de todos os caminhos clássicos e não-clássicos possíveis, representando o análogo quântico do princípio da ação da mecânica clássica[28].

Simetrias e leis de conservação

O hamiltoniano $H$ é conhecido como o gerador da evolução temporal, pois determina o operador unitário $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ [29]. Desta relação segue-se que qualquer observável $A$ que comute com $H$ será conservado. Isto implica a versão quântica do Teorema de Noether: para cada simetria contínua que deixa a ação invariante, existe uma lei de conservação correspondente[30].

Exemplos

Partícula livre

Densidade de probabilidade de um pacote de ondas gaussiano no espaço de coordenadas, movendo-se numa dimensão no espaço livre

O exemplo mais simples de um sistema quântico com um grau de liberdade de coordenada é a partícula livre numa dimensão espacial[7]. Uma partícula livre é uma partícula que não está sujeita a influências externas, portanto o seu hamiltoniano consiste apenas na sua energia cinética, e a equação de Schrödinger assume a forma[17]:

{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}},,

onde $i$ — unidade imaginária, $\hbar$ — constante de Planck reduzida, $m$ — massa da partícula. Esta equação admite a separação de variáveis, e a solução geral da equação de Schrödinger é dada pela expressão na forma de qualquer integral convergente, que descreve um pacote de ondas de ondas planas de forma geral[17]

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }C(k)e^{i(kx-\omega t)}dk,,

onde $\omega$ — frequência, $k$ — número de onda, e é cumprida a condição de finitude do integral: $\lim _{|k|\rightarrow \infty }C(k)\approx |k|^{-\alpha }$ para $\alpha \geq 1$ . No caso particular de um pacote gaussiano, a função de onda para uma partícula com número de onda $k_{0}$ no momento de tempo $t=0$ é representada na forma[17]

\psi (x,0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}+ik_{0}x\right),,

onde $a$ — tamanho do pacote de ondas, $A$ — fator de normalização. Para tal partícula, a velocidade é dada pela expressão $v_{0}=\hbar k_{0}/m,.$ Esta expressão pode ser expandida em ondas planas para encontrar o coeficiente $C(k),,$ que se exprime de forma explícita

C(k)={\frac {Aa}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}(k-k_{0})\right],.

Para encontrar o comportamento da função de onda em qualquer momento de tempo, basta integrar. A densidade é dada pelo quadrado do módulo da função de onda. Em qualquer momento de tempo, esta é igual a

\rho (x,t)=|\psi (x,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {\hbar t}{ma^{2}}}\right)^{2}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}\left[1+\left({\frac {\hbar t}{ma^{2}}}\right)^{2}\right]}}\right],.

O centro do pacote de ondas gaussiano move-se no espaço com velocidade constante $\hbar k_{0}/m,$ como uma partícula clássica sobre a qual não atuam quaisquer forças. No entanto, com o passar do tempo, o pacote de ondas também se irá dispersar no valor $\hbar t/ma,$ ou seja, a posição torna-se cada vez mais incerta, como mostrado na animação[17].

Poço de potencial infinito

Uma partícula num potencial unidimensional com paredes infinitas é o exemplo matematicamente mais simples onde as restrições levam à quantização dos níveis de energia. A caixa é definida como um potencial que define para a partícula uma energia potencial nula em todo o lado dentro de uma determinada região e uma energia potencial infinita em todo o lado fora dessa região[7]. Para o caso unidimensional ao longo do eixo $x$ , a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita na forma

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .

Se introduzirmos o operador diferencial de momento ${\hat {p}}_{x}=-i\hbar ,d/dx,$ a equação anterior pode ser escrita numa forma que lembra a fórmula clássica para a Energia cinética,

{\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,,

com o estado $\psi$ , cuja energia $E$ neste caso coincide com a energia cinética da partícula.

As soluções gerais da equação de Schrödinger para a parte espacial da função de onda de uma partícula numa caixa unidimensional são[17]:

\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},

ou, pela Fórmula de Euler,

\psi (x)=C\sin kx+D\cos kx,.

As paredes de potencial infinitas da caixa determinam os valores dos coeficientes indeterminados $C,D$ e $k$ a partir da condição de que, nos pontos $x=0$ e $x=L$ , a função de onda $\psi$ deve ser igual a zero. Assim, para $x=0$

\psi (0)=0=C\sin 0+D\cos 0=D,

donde $D=0$ . No ponto $x=L$

\psi (L)=0=C\sin kL,;

aqui nem $C,$ nem $k$ podem ser iguais a zero, pois isso tornaria $\psi$ identicamente nula, contrariando o postulado de que $\psi$ tem uma norma igual a 1. Consequentemente, como $\sin kL=0,$ o argumento $kL$ deve ser um múltiplo de $\pi ,$ ou seja

k_{n}={\frac {n\pi }{L}},\qquad \qquad n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots ,.

Esta restrição sobre $k$ limita as funções próprias possíveis do sistema a um conjunto de ondas estacionárias, nas quais as meias-ondas cabem um número inteiro de vezes no comprimento do poço de potencial. Os valores possíveis da energia da partícula estão, assim, limitados a um conjunto discreto[17]

E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}},.

O Poço de potencial retangular é uma generalização do problema do poço de potencial infinito[a] para poços de potencial de profundidade finita. O problema do poço de potencial finito é matematicamente mais complexo do que o problema da partícula numa caixa, uma vez que a função de onda não tem de ser igual a zero nas paredes do poço. Em vez disso, a função de onda deve satisfazer condições de fronteira mais complexas, pois ela é, em geral, diferente de zero nas regiões fora do poço[17]. Outro problema relacionado prende-se com a barreira de potencial retangular, que representa um modelo do efeito de tunelamento quântico[7], que desempenha um papel importante no funcionamento de tecnologias modernas, tais como a Memória flash e a microscopia de varrimento por efeito de túnel.

Oscilador harmónico

O potencial do oscilador harmónico quântico, tal como no caso clássico, é definido pela expressão[17]

V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},.

Os níveis de energia e as funções de estado do oscilador harmónico quântico podem ser determinados quer através da resolução direta da equação de Schrödinger, o que não é uma tarefa trivial[17], quer com a ajuda de um mais elegante "método de escada", proposto pela primeira vez por Paul Dirac[17]. Os estados próprios do oscilador harmónico quântico são dados como[17]

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n},n!}}}\left({\frac {\lambda }{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {\lambda x^{2}}{2}}}H_{n}\left({\sqrt {\lambda }}x\right),,

onde $\lambda =m\omega /\hbar$ e $n=0,1,2,\ldots ,,$ $H n$ — Polinómios de Hermite[17]

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),

e os níveis de energia correspondentes são discretos

E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right),.

Este é mais um exemplo que ilustra a discretização da energia para estados ligados[17].

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MECÂNICA ESTATÍSTICA QUÂNTICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [1.814]

COM TENSOR ENTRÓPICO DE GRACELI, E OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

[ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ ].

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